Question

1．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC=3cm，AC=4cm，∠ABD=45°．
（1）求BD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，由勾股定理求得AB，OB=5cm．连OD，得到等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据S_阴影=S_扇形-S_△OBD即可得到结论．

解答 解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵BC=3cm，AC=4cm，
∴AB=5cm，
∴OB=2.5cm，
连OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABD=45°，
∴∠BOD=90°，
∴BD=$\sqrt{OB^2+OD^2}$=2.5$\sqrt{2}$cm．

（2）S_阴影=$\frac{90}{360}$π•（2.5）²-$\frac{1}{2}$×2.5×2.5=$\frac{25π-50}{16}$cm²．

点评 本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，扇形的面积，三角形的面积，连接OD构造直角三角形是解题的关键．