Question

3．在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．
（1）依题意补全图1；（画图工具不限）
（2）若∠PAB=25°，求∠ADF的度数；
（3）如图2，若60°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）直接利用对称点作法得出E点位置进而得出答案；
（2）利用轴对称的性质以及等腰三角形的性质得出即可；
（3）由轴对称的性质可得：EF=BF，AE=AB=AD，∠ABF=∠AEF=∠ADF，进而利用勾股定理得出即可．

解答 解：（1）如图1所示：（保留作图迹）


（2）如图2，

连接AE，则∠PAB=∠PAE=25°，AE=AB=AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAD=140°，
∴∠ADF=20°；

（3）BF²+FD²=2AB²．
理由：如图3，

连接AE，BF，BD，
由轴对称的性质可得：EF=BF，AE=AB=AD，∠ABF=∠AEF=∠ADF，
则∠BFD=∠BAD=90°，
故BF²+FD²=BD²，
则BF²+FD²=2AB²．

点评 此题主要考查了复杂作图以及对称点的性质和正方形的性质以及勾股定理等知识，熟练应用轴对称的性质得出是解题关键．