Question

已知抛物线l₁：y=ax²-2amx+am²+2m+1（a＞0，m＞0）的顶点为A，抛物线l₂的顶点B在y轴上，且抛物线l₁和l₂关于P（1，3）成中心对称．
（1）当a=1时，求l₂的解析式和m的值；
（2）设l₂与x轴正半轴的交点是C，当△ABC为等腰三角形时，求a的值．

Answer 1

分析：（1）首先求出顶点坐标，再代入直线解析式，分析得出二次函数解析式，利用相似△BPE∽△BAF，得出m的值；
（2）假设△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质分析得出C点的坐标，从而求出解析式．

解答：解：（1）当a=1时，∵y=ax²-2amx+am²+2m+1=（x-m）²+2m+1，
∴顶点A（m，2m+1），
又∵P（1，3），
设AB的解析式是y=kx+b，
把点A，P的坐标代入得：

2m+1=km+b    ① 3=k+b                ②

①-②，得：2m-2=（m-1）k，
∵m≠1（若m=1，则A，B，P三点重合，不合题意），
∴k=2，b=1，
∴AB的解析式是y=2x+1，得l₂的顶点B（0，1），
∵抛物线l₁和l₂关于P（1，3）成中心对称．
∴抛物线的开口大小相同，方向相反，得l₂的解析式是：y=-x²+1，
∵点A，B关于点P（1，3）成中心对称，做PE⊥y轴，于点E，做AF⊥y轴于点F，则
△BPE∽△BAF，所以AF=2PE，即m=2；

（2）在Rt△ABF中，∵AB=

22+42

=2

5

＜5，
∴当△ABC为等腰三角形时，只有以下两种情况：
如图：若BC=AB=2

5

，则OC=

BC2-OB2

=

19

，
得C（

19

，0）
∵C（

19

，0）在y=-ax²+1上，
∴a=

1

19

．

如图：若AC=BC，设C（X，0），做AD⊥x轴于点D，在Rt△OBC中，BC²=x²+1，
在Rt△ADC中，AC²=（x-2）²+25，由x²+1=（x-2）²+25，
解得：x=7，
∵C（7，0）在y=-ax²+1上，所以a=

1

49

，
综上所述，满足△ABC为等腰三角形a的值有两个：a=

1

19

，a=

1

49

．

点评：此题主要考查了中心对称的性质，以及二次函数的对称性和等腰三角形的判定，题目综合性较强，注意从已知入手细心分析．