Question

12．如图，已知△ABC内接于⊙O，点I是△ABC的内心，AI的延长线交BC于点E，交⊙O于点D．
求证：DB=DI=DC．

Answer 1

分析 连接BI，CI，要证明ID=BD=DC，只要求得∠BID=∠IBD，再根据角平分线的性质即可得到结论．

解答 证明：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∴∠BID=∠ABI+∠BAD，
∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴ID=BD，
∵∠BAD=∠CAD，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴CD=BD，
∴DB=DC=DI．

点评 本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键．