Question

矩形ABCD中，AD=32厘米，AB=24厘米，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．若P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，则t=________秒时，点P和Q与点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是菱形．

Answer 1

7或25
分析：分两种情况：①如果四边形PBQD是菱形，则PD=BP=32-t，在Rt△ABP中，根据勾股定理得出AB²+AP²=BP²，列出关于t的方程，解方程求出t的值；②如果四边形APCQ是菱形，则AP=AQ=CQ=t，在Rt△ABQ中，根据勾股定理得出AB²+BQ²=AQ²，列出关于t的方程，解方程求出t的值．
解答：解：分两种情况：
①如果四边形PBQD是菱形，则PD=BP=32-t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB²+AP²=BP²，
即24²+t²=（32-t）²，
解得：t=7，即运动时间为7秒时，四边形PBQD是菱形；
②如果四边形APCQ是菱形，则AP=AQ=CQ=t．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABQ=90°，
在Rt△ABQ中，由勾股定理得：AB²+BQ²=AQ²，
即24²+（32-t）²=t²，
解得：t=25，即运动时间为25秒时，四边形PBQD是菱形．
故答案为7或25．
点评：本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，运用数形结合及方程思想是解本题的关键．