Question

11．如图，已知AC垂直平分BD，∠ABC=∠DAF，DF⊥BD
（1）证明：四边形ACDF是平行四边形；
（2）若AF=DF=5，AD=6，试求CD和BD的长．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定和性质、平行线的性质得出AF∥CD，进而利用平行四边形的判定解答即可；
（2）根据平行四边形和菱形的性质分析，再根据勾股定理解答即可．

解答 （1）证明：∵AC垂直平分BD，
∴AB=AD，BC=DC，
又∵AC=AC，
在△ABC与△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{BC=DC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠ABC=∠DAF，
∴∠ADC=∠DAF，
∴AF∥CD，
∵AC⊥BD，DF⊥BD，
∴DF∥AC，
∴四边形ACDF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ACDF是平行四边形，AF=DF=5，
∴?ACDF是菱形，
∴CD=AC=5，
∵AD=6，设CE=x，则AE=5-x，
∴CD²-CE²=AD²-AE²
即5²-x²=6²-（5-x）²
解得：x=$\frac{7}{5}$，即CE=$\frac{7}{5}$，
∴DE=$\sqrt{C{D}^{2}-C{E}^{2}}=\frac{24}{5}$，
∴BD=2DE=$\frac{48}{5}$．

点评 此题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和平行四边形的判定分析．