Question

11．如图（1）所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、F在同一条直线上，M是线段AE的中点，连接DM、FM．（1）延长DM交GE于点N，求证：MD=MN；
（2）求i正：①FM⊥DM．②DM=FM；
（3）如图（2），若将“正方形ABCD和正方形CGEF”改为“菱形ABCD和菱形CGEF”，且∠BCD=∠G=120°，其它条件不变，那么DM和FM又有怎样的位置关系和数量关系，直接写出结论．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）连接DF，NF，由四边形ABCD和CGEF是正方形，得到AD∥BC，BC∥GE，于是得到AD∥GE，求得∠DAM=∠NEM，证得△MAD≌△MEN，得出DM=MN，AD=EN，推出△MAD≌△MEN，证出△DFN是等腰直角三角形，即可得到结论；
（3）延长DM交GE于N，连接DF，NF，根据全等三角形的性质得到DM=MN，AD=EN，DF=NF，∠CFD=∠EFN，求得∠DFN=120°，得到∠DMF=90°，∠DFM=$\frac{1}{2}$∠DFN=60°，于是得到结论．

解答 解：（1）∵M是线段AE的中点，
∴AM=EM，
∵AD∥BF∥GE，
∴∠DAC=∠GEC，
在△ADM与△ENM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAM=∠NEM}\\{AM=EM}\\{∠AMD=∠EMN}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△ENM，
∴MD=MN；
（2）如图（1），DM=FM，DM⊥FM，
证明：连接DF，NF，
∵四边形ABCD和CGEF是正方形，
∴AD∥BC，BC∥GE，
∴AD∥GE，
∴∠DAM=∠NEM，
∵M是AE的中点，
∴AM=EM，
在△MAD与△MEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMD=∠EMN}\\{AM=EM}\\{∠DAM=∠NEM}\end{array}\right.$，
∴△MAD≌△MEN，
∴DM=MN，AD=EN，
∵AD=CD，
∴CD=NE，
∵CF=EF，∠DCF=∠DCB=90°，
在△DCF与△NEF中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=EN}\\{∠DCF=∠NEF=90°}\\{CF=EF}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△NEF，
∴DF=NF，∠CFD=∠EFN，
∵∠EFN+∠NFC=90°，
∴∠DFC+∠CFN=90°，
∴∠DFN=90°，
∴DM⊥FM，DM=FM；
（3）如图（1），DM=$\sqrt{3}$FM，DM⊥FM，
证明：延长DM交GE于N，连接DF，NF，
∵四边形ABCD和CGEF是菱形，
∴AD∥BC，BC∥GE，
∴AD∥GE，
∴∠DAM=∠NEM，
∵M是AE的中点，
∴AM=EM，
在△MAD与△MEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMD=∠EMN}\\{AM=EM}\\{∠DAM=∠NEM}\end{array}\right.$，
∴△MAD≌△MEN，
∴DM=MN，AD=EN，
∵AD=CD，
∴CD=NE，
∵CF=EF，∠DCF=∠DCB=60°，
在△DCF与△NEF中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=EN}\\{∠DCF=∠NEF=60°}\\{CF=EF}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△NEF，
∴DF=NF，∠CFD=∠EFN，
∵∠EFN+∠NFC=120°，
∴∠DFC+∠CFN=120°，
∴∠DFN=120°，
∵DM=NM，
∴DM⊥FM，
∴∠DMF=90°，∠DFM=$\frac{1}{2}$∠DFN=60°，
∴$\frac{DM}{MF}$=$\sqrt{3}$，
∴DM=$\sqrt{3}$MF．

点评 本题考查了全等三角形的判定，正方形的性质，菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，本题中的难点是辅助线的作法，作好辅助线找对解题的方向是本题解答的关键所在．