Question

6．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，且∠EDF=45°，DP⊥EF于点P，求证：DP=DA．

Answer 1

分析 先根据正方形的性质得AD=CD，∠ADC=90°，则可把△DCF绕点D顺时针旋转90°得到△ADQ，根据旋转的性质得DQ=DF，∠DAQ=90°，∠DAB=∠C=90°，则可判断点Q在CB的延长线上，由∠EDF=45°得到∠QDE=90°-∠EDF=45°，然后根据“SAS”判断△DQE≌△DEF，得到EQ=FE，再根据全等三角形对应边上的高相等得到结论．

解答 证明：如图，

∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴把△DCF绕点A顺时针旋转90°得到△DAQ，
∴AQ=CF，∠DAQ=90°，∠DAQ=∠C=90°，∠ADQ=∠CDF，
而∠DAB=90°，
∴点Q在BA的延长线上，
∵∠EDF=45°，
∴∠QDE=90°-∠EDF=45°，
∴∠EDF=∠QDE，
在△DQE和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DQ=DF}\\{∠QDE=∠EDF}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△DQE≌△DEF（SAS），
∴QE=EF，
∵QE⊥DA，EF⊥DP，
∴DA=DP．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质．