Question

11．如图，已知AB=AC，AD是中线，BE=CF．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）当∠B=60°时，过AB的中点G，作GH∥BD，求证：GH=$\frac{1}{4}$AB．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，AD是中线，得到∠B=∠C，BD=CD，即可得到结论；
（2）由等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据平行线的性质得到∠AHG=90°，再根据三角形的中位线定理即可得到结果．

解答 证明（1）∵AB=AC，AD是中线，
∴∠B=∠C，BD=CD，
在△BDE与△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}\\{∠B=∠C}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDF；

（2）∵GH∥BD，∠B=60°，
∴∠AGH=60°，
∵AB=AC，AD是中线，
∴AD⊥BC，
∴∠BAD=30°∠AHG=90°，
∴GH=$\frac{1}{2}$AG，
∵AG=$\frac{1}{2}$AB，
∴GH=$\frac{1}{4}$AB．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握定理是解题的关键．