Question

16．已知二次函数y=x²-（m+3）x+2m-1．
（1）证明：无论m取何值时，其图象与x轴总有两个交点；
（2）当其图象与y轴交于点A（0，5）时，求m的值；
（3）设由（2）确定的二次函数的图象与x轴自左向右依次交于点B、C，顶点为D，直线y=kx．
①问是否存在k的值，使得直线y=kx既平分△AOD的面积，又平分它的周长？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；
②设直线y=kx与AD相交于点P，问是否存在以O、P、A（或D）为顶点的三角形与△OAD相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）计算出△，可以证明△大于0，即可说明图象与x轴总有两个交点；
（2）将点A（0，5）代入，即可求出m的值；
（3）①可以证明△AOD是以O为顶点的等腰三角形，所以当直线y=kx经过线段AD的中点时即可；
②由①知△AOD是以O为顶点的等腰三角形，只要使OP=AP即可，进而求出P的值．

解答 解：（1）△=（m+3）²-4（2m-1）
=m²-2m+13
=（m-1）²+12＞0，
∴无论m取何值时，其图象与x轴总有两个交点；
（2）将点A（0，5）代入可得：2m-1=5，
解得：m=3；
（3）由（2）知m=3，
∴此抛物线的解析式为：y=x²-6x+5，
当y=0时，0=x²-6x+5，解得：x=1或x=5，
∴B（1，0），C（5，0），顶点D（3，-4），
设直线AD的解析式为y=ax+b，将点A（0，5）和点D（3，-4）代入可得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=5}\\{3a+b=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为：y=-3x+5；
①存在，k=$\frac{1}{3}$．
如图，过点D作DV⊥y轴，则：DV=3，OV=3，
∴OD=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，∴OD=OE，
过点O作OE⊥AD，则E为AD的中点，
过点E作EW⊥y轴，垂足为W，
∴WE∥DV，
∴△AWE∽△AVD，
∴$\frac{AW}{AV}$=$\frac{WE}{DV}=\frac{AE}{AD}$，即：$\frac{AW}{9}$=$\frac{WE}{3}=\frac{1}{2}$，
∴WE=$\frac{3}{2}$，AW=$\frac{9}{2}$，
∴OW=5-$\frac{9}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴点E（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
把点E代入y=kx，得：
$\frac{1}{2}=\frac{3}{2}k$，
∴k=$\frac{1}{3}$；
②存在点P（$\frac{5}{6}$，$\frac{5}{2}$）或P（$\frac{13}{6}$，-$\frac{3}{2}$），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
将点A（0，5）和点D（3，-4）代入可得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=5}\\{3k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为：y=-3x+5
∵△OAD是等腰三角形，∴当OP=AP时即可，
过点P作PM⊥y轴，垂足为M，则M为OA的中点，
∴OM=$\frac{5}{2}$，
当y=$\frac{5}{2}$时，$-3x+5=\frac{5}{2}$，
解得：x=$\frac{5}{6}$，
∴点P（$\frac{5}{6}$，$\frac{5}{2}$）
同理可得P（$\frac{13}{6}$，-$\frac{3}{2}$）．

点评 本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题，以及求一次函数的解析式以及二次函数的解析式的问题，还有二次函数与三角形相似结合的问题，综合性很强，注意总结．