Question

【题目】已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）若点D是直线BC下方抛物线上的动点，求△BCD面积最大时，点D的坐标及最大面积分别是多少？

Answer 1

【答案】（1）；（2）D,最大面积为 .

【解析】

（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）先求出点C坐标，然后设D点为（x，y），过点D作DE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥DE，交DE于点F，利用间接法求△BCD的面积，得到面积与x的二次函数，然后利用二次函数的性质，化为顶点式，即可得到点D的坐标和面积的最大值.

解（1）∵x2+4x+3=0，

∴x1=-1，x2=-3，

∵m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，

∴m=-1，n=-3，

∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），

∴，解得：，

∴抛物线解析式为：；

（2）∵，

令，则，

解得：或，

∴点C坐标为：（3，0），

∵点B为（0，-3），

设D点坐标为：（x，y），点D在第四象限，

如图：过点D作DE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥DE，交DE于点F，

∴，，，，，

∴，

∴

整理，得：，

∵，且，

∴，

∴，

∴；

∵，

∴当时，△BCD的面积取到最大值，

最大面积为：；

∴，

∴点D的坐标为：；

∴点D的坐标为：；△BCD的最大面积为.