Question

16．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且2AE=AB+AD，试探索∠ADC与∠ABC的关系．

Answer 1

分析 过C作CF⊥AD交AD延长线于F，根据角平分线性质得出CE=CF，证△AEC≌△AFC，推出AE=AF，求出BE=DF，证△BEC≌△DFC，推出∠B=∠CDF即可．

解答 解：∠ADC+∠ABC=180°，理由如下：
过C作CF⊥AD交AD延长线于F，
∵CE⊥AB，AC平分∠BAD，
∴CE=CF，∠CEA=∠F=∠BEC=90°．
在△AEC和△AFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△AFC（HL），
∴AE=AF，
∵2AE=AB+AD，
∴AE+AF=AB+AD=AE+BE+AF-DF，
∴BE=DF，
在△BEC和△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DF}\\{∠BEC=∠F}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△DFC（SAS），
∴∠B=∠CDF，
∵∠ADC+∠CDF=180°，
∴∠ADC+∠ABC=180°．

点评 本题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．准确作出辅助线是解题的关键．