Question

如图，已知直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD．
（1）点C的坐标是______线段AD的长等于______；
（2）点M在CD上，且CM=OM，抛物线y=x²+bx+c经过点C，M，求抛物线的解析式；
（3）如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在（2）中的抛物线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴y=0时，x=-3，x=0时，y=1，
∴A点坐标为：（-3，0），B点坐标为：（0，1），
∴OC=3，DO=1，
∴点C的坐标是（0，3），线段AD的长等于4；

（2）∵CM=OM，
∴∠OCM=∠COM．
∵∠OCM+∠ODM=∠COM+∠MOD=90°，
∴∠ODM=∠MOD，
∴OM=MD=CM，
∴点M是CD的中点，
∴点M的坐标为（，）．
（说明：由CM=OM得到点M在OC在垂直平分线上，所以点M的纵坐标为，再求出直线CD的解析式，进而求出点M的坐标也可．）
∵抛物线y=x²+bx+c经过点C，M，
∴，
解得：．
∴抛物线y=x²+bx+c的解析式为：y=x²-x+3．

（3）抛物线上存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形．
情形1：如图1，当点F在点C的左边时，四边形CFEP为菱形．

∴∠FCE=PCE，
由题意可知，OA=OC，
∴∠ACO=∠PCE=45°，
∴∠FCP=90°，
∴菱形CFEP为正方形．
过点P作PH⊥CE，垂足为H，
则Rt△CHP为等腰直角三角形．
∴CP=CH=PH．
设点P为（x，x²-x+3），则OH=x²-x+3，PH=x，
∵PH=CH=OC-OH，
∴3-（x²-x+3）=x，
解得：x=
∴CP=CH=×=，
∴菱形CFEP的周长l为：×4=10．
情形2：如图2，当点F在点C的右边时，四边形CFPE为菱形．

∴CF=PF，CE∥FP．
∵直线AC过点A（-3，0），点C（0，3），
∴直线AC的解析式为：y=x+3．
过点C作CM⊥PF，垂足为M，
则Rt△CMF为等腰直角三角形，CM=FM．
延长PF交x轴于点N，
则PN⊥x轴，∴PF=FN-PN，
设点P为（x，x²-x+3），则点F为（x，x+3），
∴FC=x，FP=（x+3）-（x²-x+3）=-x²+x，
∴x=-x²+x，
解得：x=-，
∴FC=x=-2，
∴菱形CFEP的周长l为：（-2）×4=18-8．
综上所述，这样的菱形存在，它的周长为10或18-8．
分析：（1）首先求出图象与x轴交于点A，与y轴交于点B的坐标，进而得出C点坐标以及线段AD的长；
（2）首先得出点M是CD的中点，即可得出M点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；
（3）分别根据当点F在点C的左边时以及当点F在点C的右边时，分析四边形CFPE为菱形得出即可．
点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及菱形的判定与性质等知识，根据已知进行分类讨论得出是解题关键．