Question

18．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D在边AB上，连接CD，过点A，C分别作AB，CD的垂线，两垂线交于点E，连接DE．
（1）求证：△CDE是等腰直角三角形；
（2）若AD=2，BD=3，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）由∠ACB=90°、EC⊥CD、AE⊥AB可得∠BCD=∠ACE、∠B=∠EAC，证△ACE≌△BCD可得；
（2）由（1）中△ACE≌△BCD知AE=BD，RT△ADE中由勾股定理可得DE的长．

解答 解：（1）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，∠B+∠CAB=90°，
又∵EC⊥CD，AE⊥AB，
∴∠ECA+∠ACD=90°，∠EAC+∠CAB=90°，
∴∠BCD=∠ACE，∠B=∠EAC，
在△ACE和△BCD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠BCD}\\{AC=BC}\\{∠EAC=∠B}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（ASA），
∴CE=CD，
又∵∠ECD=90°，
∴△ECD为等腰直角三角形；
（2）由（1）知△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，
又∵∠EAD=90°，BD=3，AD=2，
∴AE=BD=3，DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{13}$．

点评 本题主要考查全等三角形的性质和判定，证明△ACE≌△BCD是解题的关键．