如图.在Rt△ABC中.∠C=90°.AC=BC.AB=6.点P在边AB上运动.过点P作PQ⊥AB交折线AC-CB于点Q.Rt△EDF的斜边EF在射线BC上.DF∥AB.DF=AP.且DF与AB的距离为$\frac{AP}{2}$.设△EDF与△ABC重叠部分图形的面积为y.线段AP的长为x(1)求线段PQ的长．(2)当EF在边BC上时.若以点Q.P.D.E为顶点的四边形� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

9．

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P在边AB上运动，过点P作PQ⊥AB交折线AC-CB于点Q，Rt△EDF的斜边EF在射线BC上，DF∥AB，DF=AP，且DF与AB的距离为$\frac{AP}{2}$，设△EDF与△ABC重叠部分图形的面积为y，线段AP的长为x（0＜x＜6）
（1）求线段PQ的长（用含x的代数式表示）．
（2）当EF在边BC上时，若以点Q、P、D、E为顶点的四边形的面积是△ABC的面积的$\frac{1}{3}$，求x的值．
（3）当点Q在边AC上时，求y与x之间的函数关系式．
（4）直接写出直线PD与△ABC的边垂直时线段PD的长．

分析（1）只要证明△APQ是等腰直角三角形即可解决问题．
（2）由题意DE=DF=AP=PQ，∵PQ∥DE，TC 四边形PQED是平行四边形，可得$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×6×3=x•（6-2x-$\frac{1}{2}$x），解方程即可．
（3）分两种情形讨论①0＜x＜≤2时，重叠部分是△DEF．②当2＜x≤3时，如图2中，重叠部分是四边形DFCG，分别求解即可．
（4）分三种情形①如图3中，当PD⊥BC时．②如图4中，当PD⊥AB时．③如图5中，当PA=PB时，可证PD⊥AC．分别求解即可．

解答解：（1）∵CA=CB，∠C=90°，
∴∠A=45°，
∵PQ⊥AB，
∴∠APQ=90°，
∴∠A=∠PQA=45°，
∴PQ=PA=x（0＜x＜6）．

（2）如图1中，连接EQ，PD，延长ED交AB于G，作FH⊥AB于H．则四边形DGFH是矩形，DF=GH=x，FH=BH=$\frac{1}{2}$x，

由题意DE=DF=AP=PQ，∵PQ∥DE，
∴四边形PQED是平行四边形，
∴$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×6×3=x•（6-2x-$\frac{1}{2}$x），
解得x=$\frac{6±\sqrt{6}}{5}$．
∴x=$\frac{6±\sqrt{6}}{5}$时，点Q、P、D、E为顶点的四边形的面积是△ABC的面积的$\frac{1}{3}$．

（3）①当DE+DG=3时，即x+$\frac{1}{2}$x=3，x=2时，点E与点C重合，
∴0＜x＜≤2时，重叠部分是△DEF，y=$\frac{1}{2}$x²
②当2＜x≤3时，如图2中，重叠部分是四边形DFCG，

y=S_△DEF-S_△ECG=$\frac{1}{2}$x²-（x+$\frac{1}{2}$x-3）²=-$\frac{7}{4}$x²+9x-9，
综上所述，y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}}&{（0＜x≤2）}\\{-\frac{7}{4}{x}^{2}+9x-9}&{（2＜x≤3）}\end{array}\right.$．

（4）①如图3中，当PD⊥BC时，延长PD交BC于G，则△PGB是等腰直角三角形．

作GH⊥PB于H，
∵GH=$\frac{1}{2}$PB，
∴x=$\frac{1}{2}$（6-x），
∴x=2，
∴PA=DF=2，PB=4，PG=2$\sqrt{2}$，DG=$\sqrt{2}$，
∴PD=$\sqrt{2}$．
②如图4中，当PD⊥AB时，

由题意x+x+$\frac{1}{2}$x=6，
x=$\frac{12}{5}$．
∴PA=DF=DE=$\frac{12}{5}$，PB=PE=$\frac{18}{5}$，
∴PD=PE-DE=$\frac{6}{5}$．
③如图5中，当PA=PB时，易知DF是△ABC的中位线，AD=CD，∵PA=PC，∴PD⊥AC，此时x=3，PD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$

综上所述，PD=$\sqrt{2}$或$\frac{6}{5}$或$\frac{3\sqrt{2}}{2}$时，直线PD与△ABC的边垂直．

点评本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质、多边形面积问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程，用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．

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