【题目】如图,直角坐标系中,⊙M经过原点O(0,0),点A(,0)与点B(0,﹣1),点D在劣弧OA上,连接BD交x轴于点C,且∠COD=∠CBO.
(1)请直接写出⊙M的直径,并求证BD平分∠ABO;
(2)在线段BD的延长线上寻找一点E,使得直线AE恰好与⊙M相切,求此时点E的坐标.
【答案】(1)详见解析;(2)(,1).
【解析】
(1)根据勾股定理可得AB的长,即⊙M的直径,根据同弧所对的圆周角可得BD平分∠ABO;
(2)作辅助构建切线AE,根据特殊的三角函数值可得∠OAB=30°,分别计算EF和AF的长,可得点E的坐标.
(1)∵点A(,0)与点B(0,﹣1),
∴OA=,OB=1,
∴AB==2,
∵AB是⊙M的直径,
∴⊙M的直径为2,
∵∠COD=∠CBO,∠COD=∠CBA,
∴∠CBO=∠CBA,
即BD平分∠ABO;
(2)如图,过点A作AE⊥AB于E,交BD的延长线于点E,过E作EF⊥OA于F,即AE是切线,
∵在Rt△ACB中,tan∠OAB=,
∴∠OAB=30°,
∵∠ABO=90°,
∴∠OBA=60°,
∴∠ABC=∠OBC==30°,
∴OC=OBtan30°=1×,
∴AC=OA﹣OC=,
∴∠ACE=∠ABC+∠OAB=60°,
∴∠EAC=60°,
∴△ACE是等边三角形,
∴AE=AC=,
∴AF=AE=
,EF=
=1,
∴OF=OA﹣AF=,
∴点E的坐标为(,1).
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【题目】问题提出:
(1)如图①,若正方形的边长为6,点
分别为边
上的点,且
,
与
交于点
,连接
,则
;
问题探究:
(2)如图②,,
是等腰直角三角形,顶点
分别在
的两边上,试说明点
在
的平分线上;
问题解决:
(3)如图③,,
是等边三角形,顶点
分别在
的两边上,点
在
上,且
,连接
,求
的最小值.
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【题目】为了了解初一年级学生每学期参加综合实践活动的情况,某区教育行政部门随机抽样调查了部分初一学生一个学期参加综合实践活动的天数,并用得到的数据绘制了统计图①和图②,请根据图中提供的信息,回答下列问题:
(I)本次随机抽样调查的学生人数为 ,图①中的m的值为 ;
(II)求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数;
(III)若该区初一年级共有学生2500人,请估计该区初一年级这个学期参加综合实践活动的天数大于4天的学生人数.
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【题目】阅读下列材料:利用完全平方公式,将多项式变形为
的形式.
例如:.
(1)填空:将多项式变形为
的形式,并判断
与0的大小关系.
∵.
所以______0(填“>”、“<”、“=”)
(2)如图①所示的长方形边长分别是、
,求长方形的面积
(用含
的式子表示);如图②所示的长方形边长分别是
、
,求长方形的面积
(用含
的式子表示)
(3)比较(2)中与
的大小,并说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,函数y=(k>0)的图象经过点A(1,2)、B两点,过点A作x轴的垂线,垂足为C,连接AB、BC.若三角形ABC的面积为3,则点B的坐标为___________.
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【题目】九年级某班同学在庆祝2015年元旦晚会上进行抽奖活动.在一个不透明的口
袋中有三个完全相同的小球,把它们分别标号1、2、3.随机摸出一个小球记下标号后放回摇匀,再从中随
机摸出一个小球记下标号.
(1)请用列表或画树形图的方法(只选其中一种),表示两次摸出小球上的标号的所有结果;
(2)规定当两次摸出的小球标号相同时中奖,求中奖的概率.
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【题目】如图,在中,
,以
为圆心,任意长为半径画弧分别交
于点
和
,再分别以
为圆心,大于
的长为半径画弧,两弧交于点
,连接
并延长交
于点
,则下列结论一定成立的个数为
①是
的平分线;
②若,则
;
③;
④点在
的垂直平分线上.
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】“如果二次函数的图象与
轴有两个公共点,那么一元二次方程
有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若
、
(
<
)是关于
的方程
的两根且
<
则请用“<”来表示
、
、
、
的大小是_________.
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【题目】我们规定在网格内的某点进行一定条件操作到达目标点:H代表所有的水平移动,H1代表向右水平移动1个单位长度,H-1代表向左平移1个单位长度;S代表上下移动,S1代表向上移动1个单位长度,S-1代表向下移动1个单位长度,表示点P在网格内先一次性水平移动,在此基础上再一次性上下移动;
表示点P在网格内先一次性上下移动,在此基础上再一次性水平移动.
(1)如图,在网格中标出移动后所到达的目标点
;
(2)如图,在网格中的点B到达目标点A,写出点B的移动方法________________;
(3)如图,在网格内有格点线段AC,现需要由点A出发,到达目标点D,使得A、C、D三点构成的格点三角形是等腰直角三角形,在图中标出所有符合条件的点D的位置并写出点A的移动方法.
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