Question

11．已知正方形ABCD的边长为1，AC为对角线，作DO₁⊥AC，O₁为垂足，作O₁O₂⊥AD，O₂为垂足，作O₂O₃⊥AO₁，O₃为垂足，作O₃O₄⊥O₁O₂，O₄为垂足，…，请你仔细观察图，然后计算：$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…=1．

Answer 1

分析 将算式中的每个加数用对应的三角形的面积来表示，根据图形得到代数式的值等于正方形的面积减去△O₁O₃O₄的面积求解即可．

解答 解：△ABC的面积=△ADC的面积=$\frac{1}{2}$，则$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$△CDO₁的面积=△ADO₁的面积=$\frac{1}{{2}^{2}}$；
△AO₁O₂的面积=△DO₁O₂的面积=$\frac{1}{{2}^{3}}$，则$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{2}}$；
△O₂O₃O₄的面积=△O₁O₂O₃的面积=$\frac{1}{{2}^{4}}$，则$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$=1-$\frac{1}{{2}^{3}}$；
…
原式=正方形的面积-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
当n取无穷大时，$\frac{1}{{2}^{n}}$的值为0．
∴代数式的值=1-0=1．
故答案为：1．

点评 本题主要考查的是正方形的性质，明确代数式的值=正方形的面积-$\frac{1}{{2}^{n}}$是解题的关键．