Question

如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，CE⊥BD，OE：BE=1：3，DE=2．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）求AD的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO=BO=DO，
设OE=x，
∵OE：BE=1：3，
∴BE=3x，
∴BO=2x，
∴OD=OE+DE=2x，
∴x+2=2x，
∴x=2，
∴OE=DE，
∵CE⊥BD，
∴OC=CD，
∴OD=OC=DC，
∴△COD是等边三角形；

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∵AC=2OC=2CD=4，DC=2，
∴AD==2．
分析：（1）根据三边相等的三角形为等边三角形证明即可；
（2）由（1）可知AC，CD的长，根据勾股定理计算即可求出AD的长．
点评：本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定以及性质、勾股定理的运用和垂直平分线的性质，题目的难度不大，但考查的知识点很广．