Question

5．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象交x轴于A（1，0）和B（3，0），交y轴于C（0，3），P是对称轴上的动点，求△PAC周长的最小值．

Answer 1

分析 连接BC，交抛物线的对称轴于点P，连接PA．先由勾股定理求得AC，BC的长，然后依据轴对称的性质和两点之间线段最短可知PC+AP的最小值为BC，然后将△APC的最小值转为BC+AC求解即可．

解答 解：连接BC，交抛物线的对称轴于点P，连接PA．

在Rt△COB中，由勾股定理可知：BC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{B}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，在Rt△COA中，AC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
∵点A与点B关于直线x=2，
∴AP=PB．
∴CP+AP=PC+PB．
由两点之间线段最短可知：当点C、P、B在一条直线上时，CP+AP有最小值，
∴CP+AP的最小值=BC=3$\sqrt{2}$．
∴△PAC周长的最小值=AC+BC=$\sqrt{10}$+3$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查的是轴对称路径最短问题，解答本题主要应用了轴对称图形的性质和勾股定理，明确当C、P、B在一条直线上时，CP+AP有最小值时解题的关键．