Question

9．如图，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙0于点B，且BC∥ED．
（1）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；
（2）若⊙0的半径为1，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OB，由BC与OD平行，BC=OD，得到四边形BCDO为平行四边形，由AD为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AD，可得出四边形BCDO为矩形，利用矩形的性质得到OB垂直于BC，即可得出BC为圆O的切线；
（2）连接BD，由ED为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠DBE为直角，由BCOE为平行四边形，得到BC与OE平行，且BC=OE=1，在直角三角形ABD中，C为AD的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出AD的长即可．

解答 解：（1）是，理由如下：
如图，连接OB．
∵BC∥OD，DC=AC，∴BC=$\frac{1}{2}$DE=OD，
∴四边形BCDO为平行四边形，
∵AD为圆O的切线，
∴OD⊥AD，
∴四边形BCDO为矩形，
∴OB⊥BC，
则BC为圆O的切线；

（2）连接BD，∵DE是直径，
∴∠DBE=90°，
∵四边形BCOE为平行四边形，
∴BC∥OE，BC=OE=1，
在Rt△ABD中，C为AD的中点，
∴BC=$\frac{1}{2}$AD=1，
则AD=2．

点评 此题考查了切线的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．