Question

11．如图，在矩形ABCD中，AB=2$\sqrt{3}$，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，△ABE沿AE折叠，使点B落到点B′处，连接B′C，若B′C∥AE，则B′C的值为2．

Answer 1

分析 根据平行线的性质和折叠的性质得到△B′EC是等腰三角形，于是得到CE=BE=$\frac{1}{2}$BC=2，过E作EF⊥B′C于F，根据△ABE∽△EFC，得到$\frac{BE}{CF}=\frac{AE}{CE}$，于是得到结果．

解答 解：∵B′C∥AE，
∴∠AEB=∠B′CE，∠AEB′=∠EB′C，
∵△ABE沿AE折叠得到△AB′E，
∴∠AEB=∠AEB′，BE=B′E，
∴∠EB′C=∠ECB′，
∴EB′=EC，
∴CE=BE=$\frac{1}{2}$BC=2，
过E作EF⊥B′C于F，
∴CB′=2CF，∠EFC=90°，
∵在矩形ABCD中，
∴∠B=90°，
∴∠B=∠EFC，
∴△ABE∽△EFC，
∴$\frac{BE}{CF}=\frac{AE}{CE}$，
∵AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}$=4，
∴$\frac{2}{CF}=\frac{4}{2}$，
∴CF=1，
∴B′C=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理，证得△EB′C是等腰三角形是解题的关键．