Question

16．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，BC=6，AD⊥BC，垂足为D．E是BC上一动点，EF⊥BC，交AB于F，把∠B沿EF折叠，使点B落在点B′处．当△AB′F为直角三角形时，BE=1．

Answer 1

分析 由等腰三角形的性质可知∠AFB=60°，∠FAB′＜60°，所以当△AB′F为直角三角形时，只有∠FB′A=90°，设BE=x，则B′D=3-2x，易证△FEB′∽△B′DA，由相似三角形的性质：对应边的比值相等可建立关于x的方程，解方程求出x的值即可．

解答 解：∵AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为D．
∴∠B=30°，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=3，
∵把∠B沿EF折叠，使点B落在点B′处．
∴∠FB′B=30°，
∴∠AFB=60°，∠FAB′＜60°，
∴当△AB′F为直角三角形时，只有∠FB′A=90°，
设BE=x，则B′D=3-2x，
∵∠FEB′=∠ADB′=90°，∠EFB′=∠AB′D，
∴△FEB′∽△B′DA，
∴EF：B′D=EB′：AD，
∵∠B=30°，BE=x，BD=3，
∴EF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，AD=$\sqrt{3}$
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$x：（3-2x）=x：$\sqrt{3}$，
解得：x=1，
∴BE=1，
故答案为：1．

点评 本题考查了折叠的性质，用到的知识点有等腰三角形的性质、勾股定理的运用、特殊角的锐角三角形函数值以及相似三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度中等，解题的关键是能够证明△FEB′∽△B′DA，再利用相似三角形的性质解答，