Question

1．如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是（4，2），反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过OB的中点E，且与边BC交于点D．
（1）求反比例函数的解析式和点D的坐标；
（2）求三角形DOE的面积；
（3）若过点D的直线y=mx+n将矩形OABC的面积分成3：5的两部分，求此直线解析式．

Answer 1

分析 （1）根据中心对称求出点E的坐标，再代入反比例函数解析式求出k，然后根据点D的纵坐标与点B的纵坐标相等代入求解即可得到点D的坐标；
（2）根据点D的坐标求出BD的长，再由点E是OB的中点可知S_△DOE=$\frac{1}{2}$S_△OBD，由此可得出结论；
（3）设直线与x轴的交点为F，根据点D的坐标求出CD，再根据梯形的面积分两种情况求出OF的长，然后写出点F的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线解析式即可．

解答 解：（1）∵矩形OABC的顶点B的坐标是（4，2），E是矩形ABCD的对称中心，
∴点E的坐标为（2，1），
∵代入反比例函数解析式得$\frac{k}{2}$=1，解得k=2，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{2}{x}$，
∵点D在边BC上，
∴点D的纵坐标为2，
∴y=2时，$\frac{2}{x}$=2，
解得x=1，
∴点D的坐标为（1，2）；

（2）∵D的坐标为（1，2），B（4，2），
∴BD=3，OC=2．
∵点E是OB的中点，
∴S_△DOE=$\frac{1}{2}$S_△OBD=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×3×2=$\frac{3}{2}$；

（3）如图，设直线与x轴的交点为F，
矩形OABC的面积=4×2=8，
∵矩形OABC的面积分成3：5的两部分，
∴梯形OFDC的面积为$\frac{3}{3+5}$×8=3，
或$\frac{5}{3+5}$×8=5，
∵点D的坐标为（1，2），
∴若$\frac{1}{2}$（1+OF）×2=3，
解得OF=2，
此时点F的坐标为（2，0），
若$\frac{1}{2}$（1+OF）×2=5，
解得OF=4，
此时点F的坐标为（4，0），与点A重合，
当D（1，2），F（2，0）时，$\left\{\begin{array}{l}m+n=2\\ 2m+n=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}m=-2\\ n=4\end{array}\right.$，
此时，直线解析式为y=-2x+4，
当D（1，2），F（4，0）时，$\left\{\begin{array}{l}m+n=2\\ 4m+n=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}m=-\frac{2}{3}\\ n=\frac{8}{3}\end{array}\right.$．
此时，直线解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{8}{3}$，
综上所述，直线的解析式为y=-2x+4或y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到矩形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，（1）根据中心对称求出点E的坐标是解题的关键，（3）难点在于要分情况讨论．