Question

10．在一个边长为a的正方形材料上截取一扇形，围成母线长为a的圆锥．
（1）试设计两种不同的截法（要求每一种截法尽量减少浪费的材料），并把截法在图上表示出来；
（2）分别求出（1）中两种不同的截法所得的圆锥底面的半径和高；
（3）（1）中哪一种截法所得的圆锥侧面积较大？

Answer 1

分析 （1）实际上带有很强的操作性，学生可以实际画画试试，找出方法．
（2）根据不同的截法，计算其所得的圆锥底面的半径和高．
（3）根据不同的截法，计算其圆锥侧面积，比较哪种更好．

解答 解：（1）设计方案示意图如下．

（2）设圆锥底面的半径r，圆锥底面的高h，依题意有：
扇形弧长等于圆锥底面周长，
第一种图弓形的周长为：$\frac{90πa}{180}$=$\frac{πa}{2}$，
∴2πr=$\frac{πa}{2}$，
∴r=$\frac{a}{4}$，
∴h=$\sqrt{{a}^{2}-{r}^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$a，
第二种图弓形的周长为：$\frac{60πa}{180}$=$\frac{πa}{3}$，
∴2πr=$\frac{πa}{3}$，
∴r=$\frac{a}{6}$，
∴h=$\sqrt{{a}^{2}-{r}^{2}}$=$\frac{\sqrt{35}}{6}$a；
（3）∵①图扇形面积为：$\frac{90π{a}^{2}}{360}$=$\frac{π{a}^{2}}{4}$，
②图扇形面积为：$\frac{60π{a}^{2}}{360}$=$\frac{π{a}^{2}}{6}$，
∴第一种截法所得的圆锥侧面积较大．

点评 本题考查了作图-应用与设计图，正方形的性质，切线的性质，弓形的计算，扇形的计算，勾股定理的应用等．