Question

2．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，-$\frac{2}{3}$），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．
（1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；
（2）以AB为直径的⊙M与过点C的直线相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式；
（3）在抛物线的对称轴L上是否存在一点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用顶点式求得二次函数的解析式，令其等于0后求得x的值即为与x轴交点坐标的横坐标；
（2）连接ME，根据CE是⊙M的切线得到ME⊥CE，∠CEM=90°，从而证得△COD≌△MED，设OD=x，在RT△COD中，利用勾股定理求得x的值即可求得点D的坐标，然后利用待定系数法确定线段CE的解析式即可；
（3）分PC=PD，CD=DP及CD=PC三种情况进行讨论．

解答 解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y=a（x-4）²-$\frac{2}{3}$（a≠0）
∵抛物线经过（0，2）
∴a（0-4）²-$\frac{2}{3}$=2
解得：a=$\frac{1}{6}$，
∴y=$\frac{1}{6}$（x-4）²-$\frac{2}{3}$，即：y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{4}{3}$x+2
当y=0时，$\frac{1}{6}$x²-$\frac{4}{3}$x+2=0
解得：x=2或x=6
∴A（2，0），B（6，0）；

（2）如图2，连接ME，
∵CE是⊙M的切线，
∴ME⊥CE，∠CEM=90°．
∵C的坐标（0，2），
∴OC=2，
∵AB=4，
∴ME=2
∴OC=ME=2，
∵∠ODC=∠MDE，
在△COD与△MED中，
$\left\{\begin{array}{l}∠COD=∠MED\\∠ODC=∠EDM\\ OC=ME\end{array}\right.$，
∴△COD≌△MED（AAS），
∴OD=DE，DC=DM
设OD=x
则CD=DM=OM-OD=4-x
则Rt△COD中，OD²+OC²=CD²，
∴x²+2²=（4-x）²
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴D（$\frac{3}{2}$，0）
设直线CE的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵直线CE过C（0，2），D（$\frac{3}{2}$，0）两点，
则$\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}k+b=0\\ b=2\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{4}{3}\\ b=2\end{array}\right.$
∴直线CE的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+2；

（3）设P（4，y），
当PC=PD时，
∵C（0，2），D（$\frac{3}{2}$，0），
∴（4-0）²+（y-2）²=（4-$\frac{3}{2}$）²+y²，解得y=$\frac{55}{16}$，
∴P₁（4，$\frac{55}{16}$）；
当CD=DP时，
∵C（0，2），D（$\frac{3}{2}$，0），M（4，0）
∴CD=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，MD=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴此时点M与点P重合，即P₂（4，0）；
当CD=PC时，
∵CD=$\frac{5}{2}$，
∴PC=$\sqrt{{4}^{2}+（y-2）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，整理得，y²-4y+$\frac{55}{4}$=0，
∴△=16-55=-39＜0，
∴此种情况不存在．
综上所述，△PCD为等腰三角形时，P₁（4，$\frac{55}{16}$），P₂（4，0）．

点评 本题考查了二次函数综题，涉及到二次函数图象上点的坐标特点、等腰三角形的判定及全等三角形的判定与性质等知识，特别是用顶点式求二次函数的解析式，更是中考中的常考内容，本题难度偏大．