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【题目】在平面直角坐标系中,已知点A,点B,点Cy轴上的一个动点,当∠BCA=30°时,点C的坐标为______

【答案】(0,),(0,)

【解析】

(1)如图1,以AB为边在x轴的上方作等边△PAB,再以点P为圆心,PA为半径作圆P,交y轴的正半轴于点C,连接BC、AC,则此时∠BCA=30°,再根据题中的已知条件求得线段OC的长,即可得到此时点C的坐标;

(2)如图2,和(1)同理在y轴的负半轴可求得另一个符合要求的点C的坐标.

(1)如图1,以AB为边在x轴的上方作等边△PAB,∠APB=60°,再以点P为圆心,PA为半径作圆P,交y轴的正半轴于点C,连接BC、AC,则此时由∠APB=60°可得∠BCA=30°,

A、B的坐标分别为:

∴AB=,OB=

∴PA=PC=AB=

过点PPF⊥y轴于点F,PE⊥x轴于点E,则四边形PEOF是矩形,

∴OF=PE,PF=OE,

在等边△PAB,PE=PA·sin60°=,BE=AB=

∴OF=12,OE=OB-BE=

∴PF=

Rt△PFC,PC=,∠PFC=90°,

∴CF=

∴OC=OF+CF=

此时点C的坐标为

(2)如图2,AB为边在x轴的下方作等边△PAB,∠APB=60°,再以点P为圆心,PA为半径作圆P,交y轴的负半轴于点C,连接BC、AC,则此时由∠APB=60°可得∠BCA=30°(1)同理可得此时点C的坐标为:

综上所述,符合条件的点C的坐标为

故答案为.

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