Question

已知抛物线y=x²-（k-1）x-3k-2与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），且α²+β²=17，求k的值．

Answer 1

分析：首先由一元二次方程的根的判别式求得k的取值范围；然后利用根与系数的关系得到α+β=k-1，α•β=-3k-2，α²+β²=（α+β）²-2αβ=（k-1）²-2（-3k-2）=17，由此易求k的值．

解答：解：∵抛物线与x轴交于两点，∴△=[-（k-1）]²-4（-3k-2）=k²+10k+9＞0，①
由题意知方程x²-（k-1）x-3k-2=0的两根为α，β．
由韦达定理得：α+β=k-1，α•β=-3k-2，
α²+β²=（α+β）²-2αβ=（k-1）²-2（-3k-2）=17，
即：k²+4k-12=0，
解得k₁=2，k₂=-6；
当k₁=2时，代入①满足；
当k₂=-6时，代入①不满足；
综上，k=2．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点以及根与系数的关系．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系．
△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．