Question

    如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象经过点A（－1，0）、

点B（3，0）、点C（0，3）．

   （1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；

   （2）连结AC、CD、BD，试比较∠BCA与∠BDC的大小，并说明理由；

   （3）若在x轴上有一动点M，在抛物线上有一动点N，则M、N、B、C四点是否能构成平行四边形，若存在，请求出所有适合的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

	（第28题）

 

Answer 1

解：（1）∵点A、B、C在抛物线上，

    ∴  解得

    ∴此抛物线为：     ………2分

    由

    ∴抛物线的顶点D的坐标为（1，4）． ………4分

   （2）连结BC，

    由点C（0，3）、B（3，0）、D（1，4）

    可得CD＝，BD＝，CB＝

    由点C（0，3）、A（－1，0），可得AC＝

    由

∴△CDB∽△OAC  ∴∠BCA＝∠BDC   ………8分

   （3）设点M的坐标为（t，0）

    则由C（0，3）、B（3，0）、M（t，0）可以得到

    若能构成平行四边形时点N的坐标有三种可能，

分别是（3－t，3），（t－3，3），（t＋3，－3）   

    ∵点N在抛物线上

    当把（3－t，3）代入时，    

    可得t＝1或t＝3（点M与点B重合，舍去）；

当把（t－3，3）代入时，

可得t＝5或t＝3（点M与点B重合，舍去）；

当把（t＋3，－3）代入时，

可得t＝或t＝，

    综上可知，M的坐标为（1，0）、（5，0）、（，0）、（，0）．