Question

如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D₁、E₁、F₁分别是△ABC三边上的点，且AD₁=BE₁=CF₁=AB，连接D₁E₁、E₁F₁、F₁D₁，可得△D₁E₁F₁是等边三角形，此时△AD₁F₁的面积S₁=S，△D₁E₁F₁的面积S₁=S．
（1）当D₂、E₂、F₂分别是等边△ABC三边上的点，且AD₂=BE₂=CF₂=AB时如图2，
①求证：△D₂E₂F₂是等边三角形；
②若用S表示△AD₂F₂的面积S₂，则S₂=______；若用S表示△D₂E₂F₂的面积S₂′，则S₂′=______．
（2）按照上述思路探索下去，并填空：
当D_n、E_n、F_n分别是等边△ABC三边上的点，AD_n=BE_n=CF_n=AB时，（n为正整数）△D_nE_nF_n是______三角形；
若用S表示△AD_nF_n的面积S_n，则S_n=______；若用S表示△D_nE_nF_n的面积S_n′，则S′_n=______．

Answer 1

解：（1）①∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，
由已知得AD₂=AB，BE₂=BC，
∴AF₂=AC，BD₂=AB
∴AD₂=BE₂，AF₂=BD₂
△AD₂F₂≌△BE₂D₂
∴D₂E₂=F₂D₂
同理可证△AD₂F₂≌△CF₂E₂
F₂D₂=E₂F₂
∴D₂E₂=E₂F₂=F₂D₂
∴△D₂E₂F₂为等边三角形；
②；
S′₂=S-S×3=S

（2）由（1）可知：△D_nE_nF_n等边三角形；
由（1）的方法可知：，S₃=S，…；
S₂′=S，S₃′=…．
分析：（1）由等边三角形的性质和已知条件可证△AD₂F₂≌△BE₂D₂≌△CF₂E₂，得D₂E₂=E₂F₂=F₂D₂所以△D₂E₂F₂为等边三角形．
（2）（3）由等边三角形的性质和面积公式可求．
点评：本题考查了等边三角形等性质，和等边三角形等判断，以及内接等边三角形的面积规律．