Question

如图，已知抛物线y=ax²+4ax+t（a＞0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点B的坐标为（-1，0）．
（1）求此抛物线的对称轴及点A的坐标；
（2）过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP是什么四边形吗？请证明你的结论；
（3）连结AC，BP，若AC⊥BP，试求此抛物线的解析式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）直接利用配方法求出抛物线对称轴即可，再利用二次函数对称性得出A点坐标；
（2）首先得出CP=AB，再利用平行四边形的判定方法一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出即可；
（3）利用菱形的判定与性质得出C点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式．

解答：解：（1）∵y=ax²+4ax+t=a（x+2）²+t-2，
∴抛物线的对称轴是直线x=-2，
设点A的坐标为（x，0），
∵

-1+x

2

=-2，∴x=-3，
∴A的坐标（-3，0）；

（2）四边形ABCP是平行四边形．
理由：
∵抛物线的对称轴是直线x=-2，∴CP=2．
又∵AB=2，∴CP=AB．
又∵CP∥AB，∴四边形ABCP是平行四边形；

（3）∵AC⊥BP，∴平行四边形ABCP是菱形．
∴BC=AB=2．
又∵OB=1，∴OC=

3

．∴C（0，

3

）．
将B（-1，0），C（0，

3

）代入y=ax²+4ax+t，得：

a-4a+t=0 t= 3

，
解得：

a= 3 3 t= 3

，
∴此抛物线的解析式为：y=

3

3

x²+

4 3

3

x+

3

．

点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及平行四边形的判定与性质以及菱形的性质等知识，得出C点坐标是解题关键．