Question

15．如图，抛物线y=ax²-4x+c经过坐标原点O，且与x轴交于点A（-4，0）
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的一点，且S_△APO=6，求sin∠PAO的值．

Answer 1

分析 （1）把原点和点A的坐标分别代入函数解析式，列出关于a、c的方程组，通过解方程组求得它们的值；
（2）根据（1）中得到抛物线解析式可以设P（x，-x²-4x），由三角形的面积公式求得点P的坐标，所以结合锐角三角函数的定义进行解答即可．

解答 解：（1）把点（0，0）和（-4，0）分别代入y=ax²-4x+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{0=16a+16+c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=0}\end{array}\right.$，
故该抛物线解析式为：y=-x²-4x；

（2）设P（x，-x²-4x），
由S_△APO=6，A（-4，0）得
$\frac{1}{2}$×4×|-x²-4x|=6，
即x²+4x+3=0，
解得x₁=-3，x₂=-1，
∴P（-3，3）或P（-1，3），
∴AD=1或AD=3，
∴AP=$\sqrt{10}$或AP=3$\sqrt{2}$
∴sin∠PAO=$\frac{PD}{AP}$=$\frac{3}{\sqrt{10}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$或sin∠PAO=$\frac{PD}{AP}$=$\frac{3}{3\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即sin∠PAO的值是$\frac{3\sqrt{10}}{10}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形以及抛物线与x轴的交点坐标，解答该题时，采用了“数形结合”的数学思想．