Question

如图，在矩形ABCO中，AO=3，tan∠ACB=，以O为坐标原点，OC为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系。设D，E分别是线段AC，OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动，设运动时间为t秒。

（1）求直线AC的解析式；

（2）用含t的代数式表示点D,点E的坐标；

（3）当以O、D、E三点为顶点的三角形是直角三角形时，求经过O、D、E三点的抛物线的解析式(只需求出一条即可).

Answer 1

解：（1）根据题意，得CO=AB=BC•tan∠ACB=4，

∴A（0，3），C（4，0）.

设直线AC的解析式为：y=kx+3，代入C点坐标，

得：4k+3=0，k=.

∴直线AC：y=x+3.

（2）分别作DF⊥AO，DH⊥CO，垂足分别为F，H，

则有△ADF∽△DCH∽△ACO.

∴AD：DC：AC=AF：DH：AO=FD：HC：OC，

而AD=3t（其中0≤t≤），OC=AB=4，AC=5，

∴FD=，AF=，DH=，HC=.

∴D（，）.

∵CE= t,

∴OE=OC-CE=4- t.

  ∴E（4-t，0）.

（3）当DO⊥DE时，

∠DOH=∠EDH .

∵tan∠DOH=tan∠EDH，

∴     即

∵DH=，OH=FD=，EH=CH－CE=，

∴（）²=（）· .

即：19t²－34t+15=0 .

t₁=1，     t₂= .

①当t=1时，  D（），  E（3，0）.

设抛物线解析式为y=ax²+bx，

   代入D、E坐标  解得 a=，b= .

∴y= .  

②当t=时，同理可得  y= .

以上①、②解出一种即可.