Question

如图，在矩形ABCO中，AO=3，tan∠ACB=，以O为坐标原点，OC为轴，OA为轴建立平面直角坐标系。设D，E分别是线段AC，OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动，设运动时间为秒。

（1）求直线AC的解析式；

（2）用含的代数式表示点D的坐标；

（3）当为何值时，△ODE为直角三角形？

（4）在什么条件下，以Rt△ODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于轴的抛物线？并请选择一种情况，求出所确定抛物线的解析式。

Answer 1

 解：（1）根据题意，得CO=AB=4，则A（0，3），B（4，3），

∴直线AC：；

（2）分别作DF⊥AO，DH⊥CO，垂足分别为F，H，

则有△ADF∽△DCH∽△ACO，

∴AD：DC：AC=AF：DH：AO=FD：HC：OC，

而AD=（其中0≤≤），OC=AB=4，AC=5，∴FD=AD=，AF=AD=，

DH=，HC=，

∴D（，）；

（3）CE=，E（，0），OE=OC-CE=4-，HE=|CH-CE|=，

则OD²=DH²+OH²==，

DE²=DH²+HE²==，

当△ODE为Rt△时，有OD²+DE²=OE²，或OD²+OE²=DE²，或DE²+OE²=OD²，

即①，

或②，

或③，

上述三个方程在0≤≤内的所有实数解为

，，，；

（4）当DO⊥OE，及DE⊥OE时，即和时，以Rt△ODE的三个顶点不确定对称轴平行于轴的抛物线，其它两种情况都可以各确定一条对称轴平行于轴的抛物线D（，），E（4-，0）

当时，D（，），E（3，0），因为抛物线过O（0，0），

所以设所求抛物线为，将点D，E坐标代入，求得，，

∴所求抛物线为

（当时，所求抛物线为）