Question

如图，在矩形ABCO中，AO=3，tan∠ACB=，以O为坐标原点，OC为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系。设D，E分别是线段AC，OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动，设运动时间为t秒。
（1）求直线AC的解析式；
（2）用含t的代数式表示点D的坐标；
（3）当y为何值时，△ODE为直角三角形？
（4）在什么条件下，以Rt△ODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线？并请选择一种情况，求出所确定抛物线的解析式。

Answer 1

解：（1）根据题意，得CO=AB=4，则A（0，3），B（4，3），
∴直线AC：；
（2）分别作DF⊥AO，DH⊥CO，垂足分别为F，H，
则有△ADF∽△DCH∽△ACO，
∴AD：DC：AC=AF：DH：AO=FD：HC：OC，
而AD=3t（其中0≤t≤），OC=AB=4，AC=5，
∴FD=AD=，AF=AD=，
DH=，HC=，
∴D（，）；
（3）CE=t，E（t，0），OE=OC-CE=4-t，HE=|CH-CE|=，
则OD²=DH²+OH²=，
DE²=DH²+HE²=，
当△ODE为Rt△时，有OD²+DE²=OE²，或OD²+OE²=DE²，或DE²+OE²=OD²，
即①，
或②，
或③，
上述三个方程在0≤t≤内的所有实数解为
t₁=，t₂=1，t₃=0，t₄=；
（4）当DO⊥OE，及DE⊥OE时，即填t₃=0和t₄=时，
以Rt△ODE的三个顶点不确定对称轴平行于y轴的抛物线，
其它两种情况都可以各确定一条对称轴平行于y轴的抛物线
D（），E（4-t，0）
当t₂=1时，D（），E（3，0），
因为抛物线过O（0，0），
所以设所求抛物线为y=ax²+bx，将点D，E坐标代入，求得a=-，b=，
∴所求抛物线为y=-x²＋ｘ。
（当t₁=时，所求抛物线为y=x²+x）