Question

9．在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，AC，BD相交于O，P是边BC上一点，AP与BD交于点M，DP与AC交于点N．
①若点P为BC的中点，则AM：PM=2：1；
②若点P为BC的中点，则四边形OMPN的面积是8；
③若点P为BC的中点，则图中阴影部分的总面积为28；
④若点P在BC的运动，则图中阴影部分的总面积不变．
其中正确的是①③．（填序号即可）

Answer 1

分析 由矩形的性质得出AD=BC，AD∥BC，由平行线得出AM：PM=AD：BP，由中点的定义得出AM：PM=2：1，①正确；
②不正确；作MG⊥BC于G，则MG∥AB，得出△PMG∽△PAB，求出MG=$\frac{1}{3}$AB=2，得出四边形OMPN的面积=△BOC的面积-△MBP的面积-△NCP的面积=4，得出②不正确；
求出图中阴影部分的总面积=矩形ABCD的面积-图中空白部分的面积=28，③正确；
④错误；由P在B时，阴影部分的面积=$\frac{1}{2}$×6×8=24≠28，得出④不正确；即可得出结论．

解答 解：①正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，AD=BC，AD∥BC，
∴AM：PM=AD：BP，
∵点P为BC的中点，
∴BP=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AD，
∴AM：PM=2：1；
②不正确；作MG⊥BC于G，如图所示：
则MG∥AB，
∴△PMG∽△PAB，
∴MG：AB=PM：PA=1：3，
∴MG=$\frac{1}{3}$AB=2，
∴四边形OMPN的面积=△BOC的面积-△MBP的面积-△NCP的面积=$\frac{1}{4}$×8×6-$\frac{1}{2}$×4×2-$\frac{1}{2}$×4×2=4；③正确；
∵图中空白部分的面积=△DBP的面积+△ACP的面积-四边形OMPN的面积=$\frac{1}{2}$×4×6+$\frac{1}{2}$×4×6-4=20，
∴图中阴影部分的总面积=矩形ABCD的面积-图中空白部分的面积=8×6-20=28；④错误；
∵P在B时，阴影部分的面积=$\frac{1}{2}$×6×8=24≠28；
正确的有①③；
故答案为：①③．

点评 本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形以及矩形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线是解决问题②的关键．