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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°AB=8cmcosABC=,点D在边AC上,且CD=cm,动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动,当点P到达B点即停止运动.设运动时间为ts).解答下列问题:

(1)M、N分别是DP、BP的中点,连接MN.

①分别求BC、MN的值;

②求在点P从点A匀速运动到点B的过程中线段MN所扫过区域的面积;

(2)在点P运动过程中,是否存在某一时刻t,使BD平分CDP?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)①BC=;MN=;②线段MN所扫过区域为平行四边形,面积为6;(3)

【解析】试题分析(1)①根据已知的AB=8和锐角三角形函数cosABC=可求出BC的长,根据勾股定理求出BD的长,然后根据三角形的中位线的性质可求解;

②由于D点不动,所以BD的长不变,因此MN的长不变,由此可知扫过的区域为平行四边形,然后求解即可.

(2)如图,过D作DH⊥AB于H,BE⊥PD于E,根据角平分线的性质和三角形的面积的不变性可求解.

试题解析:(1)BC=, MN=

②线段MN所扫过区域为平行四边形,

面积为6

(2)存在,

如图,过D作DH⊥AB于H,BE⊥PD于E,

∵BD平分∠CDP,

∴∠PDB=∠CDB,

∴BE = BC =

∴DC=DE=

AD=AC-CD==5

∴DH=3,

∵BPDH=BEPD,

∴ PD=5﹣t,

∴PE=t,

∵BP2=PE2+BE2

(8﹣t)2=(t)2+(2,(解此方程需要注意运算技巧,否则特别繁琐,影响运算结果与考试心情)解得:t=16(不合题意,舍去),t =

∴当t=时,BD平分∠CDP.

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