Question

【题目】如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，以AD为半径的⊙A分别与边AC、AB交于点E和点F，DE∥AB，延长CA交⊙A于点G，连接BG.

(1)求证：BG是⊙A的切线；

(2)若∠ACB＝30°，AD＝3，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】分析:(1) 根据DE∥AB得出∠BAD=∠ADE，∠GAB=∠AED,再依据AD=AE得出∠BAD=∠GAB,从而证明△GAB≌△DAB,即可得出∠ADB=∠AGB =90°,从而说明BG是⊙A的切线;

(2)证四边形AFDE为菱形,从而得到阴影部分的面积等于扇形AFD的面积.

详解:

（1）∵DE∥AB

∴∠BAD=∠ADE，∠GAB=∠AED

∵AD=AE

∴∠AED=∠ADE

∴∠BAD=∠GAB

在△GAB和△DAB中

∴△GAB≌△DAB

∴∠AGB =∠ADB

∵AD⊥BC

∴∠ADB=90°

∴∠AGB =90°

∴BG是⊙A的切线.

（2）连接FD

∵∠ACB=30°，∠ADC=90°

∴∠CAD=60°

∵AD=AE

∴△ADE为等边三角形

∴DE=AE=AF

又∵DE∥AB

∴四边形AFDE为菱形

∴AE∥FD

∴S△AFD= S△EFD

∴S阴影= S扇形AFD

∵∠FAD=60°，AD=3

∴S阴影= S扇形AFD=

点睛: 本题考查了等腰三角形的性质,平行线的性质和判定,切线的判定,三角形的面积,扇形的面积计算等知识点,主要考查学生综合运用定理进行推理的能力,综合性比较强,有一定的难度.