Question

【题目】已知直线y＝2x＋m与抛物线y＝ax2＋ax＋b有一个公共点M(1，0)，且a＜b.

(1)求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；

(2)说明直线与抛物线有两个交点；

(3)直线与抛物线的另一个交点记为N.

①若－1≤a≤一，求线段MN长度的取值范围；

②求△QMN面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（-，-）（2）证明见解析（3）

【解析】分析: （1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标；
（2）由直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，再判断其判别式大于0即可；
（3）①由（2）的方程，可求得N点坐标，利用勾股定理可求得MN2，利用二次函数性质可求得MN长度的取值范围；②设抛物线对称轴交直线与点E，则可求得E点坐标，利用S△QMN=S△QEN+S△QEM可用a表示出△QMN的面积，再整理成关于a的一元二次方程，利用判别式可得其面积的取值范围，可求得答案

详解:

（1）∵M（1，0），

∴b=-2a，

∴y=ax2+ax+b

=ax2+ax-2a

= a(x+)2－

∴顶点Q的坐标为（－，－）.

（2）由直线y=2x+m经过点M（1，0），可得m=－2.

∴y=2x-2

∴ax2+（a-2）x-2a+2=0

∴△=（a-2）2－4×a×（－2a+2）=（3a－2）2

∵2a +b=0，a<b

∴a<0

∴△>0

∴方程有两个不相等的实数根，

∴直线与抛物线有两个交点.

（3）把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a，得ax2+（a-2）x-2a+2=0，

即x2+(1- )x-2+=0，

∴（x-1）（x+2-）=0,

解得x1=1,x2 =-2，

∴点N（-2，-6）.

（i）根据勾股定理得，

MN2=[（-2）-1]2+（-6）2=20（）2，

∵-1≤a≤-，

∴-2≤ ≤-1，

∴<0，

∴MN=2 （ ）=3 ，

∴5≤MN≤7.

（ii）作直线x=－ 交直线y=2x-2于点E，

把x=－代入y=2x-2得，y=-3，

即E（－，-3），

∵M（1，0），N（-2，-6），且由（2）知a<0，

∴S△QMN =S△QEN+S△QEM= = ，

即27a2+(8S-54)a+24=0，

∵关于a的方程有实数根，

∴△=（8S-54）2-4×27×24≥0，

即（8S-54）2≥（36 ）2，

又∵a<0，

∴S=> ,

∴8S-54>0，

∴8S-54≥36，即S≥ ，

当S=时，由方程可得a=- 满足题意.

∴△QMN面积的最小值为.

点睛: 本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、勾股定理、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得N点的坐标是解题的关键，在最后一小题中用a表示出△QMN的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大.