Question

【题目】如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1．

（1）请你探究： ，是否都成立？

（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断．

（3）如图（2）所示Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=8，AB= ，DE∥AC交AB于点E，试求的值．

Answer 1

【答案】（1）成立（2）成立（3）

【解析】分析: （1）根据等边三角形的性质得到AD垂直平分BC，∠CAD=∠BAD=30°，AB=AC，则DB=CD，易得；由于∠C1AB1=60°，得∠B1=30°，则AB1=2AC1，同理可得到DB1=2DC1，易得；

（2）过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠E=∠CAD=∠BAD，则BE=AB，并且根据相似三角形的判定得△EBD∽△ACD，得到，而BE=AB，于是有，这实际是三角形的角平分线定理；

（3）AD为△ABC的内角角平分线，由（2）的结论，根据相似三角形的判定得△DEF∽△ACF，利用相似三角形的性质解答即可．

详解:

（1）等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，所以=1，

因为B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1，所以∠CAB=60°，∠B1=∠CAD=∠BAD=30°，所以AD=B1D，所以．这两个等式都成立；

（2）可以判断结论仍然成立，证明如下：

如图所示，△ABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，

∵∠E=∠CAD=∠BAD，∴BE=AB，又∵△EBD∽△ACD

∴，

又∵BE=AB．

∴即对任意三角形结论仍然成立；

﹙3﹚如图（2）所示，因为Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=，所以AB=．

∵AD为△ABC的内角角平分线，

∴，

∵DE∥AC，

∴△DEF∽△ACF，

∴.

点睛: 本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线被其它两边所截，所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了等边三角形的性质、含30°的直角三角形三边的关系以及角平分线的性质．