Question

【题目】如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．

（1）试判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠AEF与∠EFC的角平分线交于点P，PF∥GH，求证：GH⊥EG；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠1+∠AEF=180°，

∠1+∠2=180°，

∴∠AEF=∠2，

∴AB∥CD．

（2）解：∵AB∥CD，

∴∠AEF+∠EFC=180°；

∵∠AEF与∠EFC的角平分线交于点P，

∴∠PEF+∠PFE=90°，即PF⊥GE；

∵PF∥GH，

∴GH⊥EG

（3）解：∵PF∥GH，

∴∠FPH=∠PHK，而∠PHK=∠HPK，

∴∠FPH=∠KPH（设为α）；

∵PQ平分∠EPK，

∴∠KPQ= =45°+α，

∴∠HPQ=45°+α﹣α=45°，

即∠HPQ的大小不会发生变化

【解析】掌握对顶角的性质以及平行线的判定定理进行解决实际问题.

【考点精析】本题主要考查了平行线的判定与性质的相关知识点，需要掌握由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质才能正确解答此题．