Question

3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动：同时，点Q从点C出发沿CB-BA运动，点Q在CB上的速度为每秒2个单位长度，在BA上的速度为每秒$\sqrt{2}$个单位长度，当点P到达终点A时，点Q随之停止运动．以CP、CQ为邻边作?CPMQ，设?CPMQ与△ABC重叠部分图形的面积为y（平方单位），点P的运动时间为x（秒）．
（1）当点M落在AB上时，求x的值．
（2）当点Q在边CB上运动时，求y与x的函数关系式．
（3）在P、Q两点整个运动过程中，当?CPMQ与△ABC重叠部分图形不是四边形时，求x的取值范围．
（4）以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出CP的长．

Answer 1

分析 （1）根据动点的时间和速度得：CP=x，CQ=2x，因为四边形CPMQ是平行四边形，得CP=MQ=BQ，代入列式求出x的值；
（2）分两种情况：①当0＜x≤$\frac{4}{3}$时，如图2，?CPMQ与△ABC重叠部分图形是?CPMQ，利用矩形面积公式代入计算；②当$\frac{4}{3}$＜x≤2时，如图3，?CPMQ与△ABC重叠部分图形是五边形CQNHP，利用差求面积；
（3）除了了（2）中的情况外，还有③当2≤x＜4时，如图4，重叠部分是四边形，④当x=4时，如图5，重叠部分是三角形，写出结论；
（4）分为①当0＜x≤2和当2＜x≤4时进行讨论，一共存在四种情况，画出图形就可以求出x的值，即PC的长．

解答 解：（1）当点M落在AB上时，如图1，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，
∴∠A=∠B=45°，
∵四边形CPMQ是平行四边形，
∴CP∥MQ，CP=MQ=x，
∴∠BQM=∠C=90°，
∴∠QMB=∠B=45°，
∴BQ=MQ，
∴4-2x=x，
∴x=$\frac{4}{3}$；
（2）①当0＜x≤$\frac{4}{3}$时，如图2，?CPMQ与△ABC重叠部分图形是
?CPMQ，
∵CQ=$\sqrt{2}$x，PC=x，
∴y=S_?CPMQ=2x•x=2x²，
②当$\frac{4}{3}$＜x≤2时，如图3，
由题意有，CQ=2x，QM=PC=x，∠B=45°，∠M=90°，
∴QN=BQ=4-2x，
∵BN=$\sqrt{2}$BQ=$\sqrt{2}$（4-2x）=4$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$x，
∵QM=x，
∴MN=QM-QN=3x-4，
∴S_△MNH=$\frac{1}{2}$MN²=$\frac{1}{2}$（3x-4）²，
∴y=S_矩形QCPM-S_△MNH
=2x²-$\frac{1}{2}$（9x²-24x+16）
=-$\frac{5}{2}$x²+12x-8，
（3）①当0＜x≤$\frac{4}{3}$时，如图1，2，重叠部分是四边形，
②当$\frac{4}{3}$＜x＜2时，如图3，重叠部分是五边形，
③当2≤x＜4时，如图4，重叠部分是四边形，
④当x=4时，如图5，重叠部分是三角形，
∴当$\frac{4}{3}$＜x＜2时和x=4时，当?CPMQ与△ABC重叠部分图形不是四边形；
（4）①当0＜x≤2时，
i）当MC=MB时，如图6，
∵MQ⊥AB，
∴CQ=BQ，
∵CQ=2x，BQ=4-2x，
∴2x=4-2x，
∴x=1；
ii）当CM=CB时，如图7，
∴CM=BC=4，
∵MQ⊥AB，MQ=x，CQ=2x，
根据勾股定理得，CM²=CQ²+MQ²
∴16=（2x）²+x²，
∴x=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$或x=-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$（舍），

iii）当MB=BC时，如图10，Q此时在CB的延长线上，不符合题意，

②当2＜x≤4时，如图8，
i）当MC=MB时，MD⊥BC，
∴CD=BD，则AQ=BQ，
x=4；
ii）当BC=MB时，如图9，延长MQ交BC于D，则MD⊥BC，
MQ=PC=x，BQ=$\sqrt{2}$（x-2），BM=BC=4，
∴∠ABC=45°，
∴DQ=BD=x-2，
在Rt△MDB中，MB²=MD²+BD²，
∴4²=（x-2）²+（x+x-2）²，
x=$\frac{6+2\sqrt{19}}{5}$，x=$\frac{6-2\sqrt{19}}{5}$（舍），
iii）如图11，以C为圆心，以CB为半径画圆，点P在2＜x≤4范围内运动过程中，M都不可能在圆上，所以MC与BC不可能相等；

综上所述：PC=1或$\frac{4\sqrt{5}}{5}$或$\frac{6+2\sqrt{19}}{5}$或4．

点评 本题是四边形的综合题，考查了矩形、等腰直角三角形的性质，考查了重叠面积的求法，对于重叠图形的面积，要根据动点时间的取值进行分析画图，并利用各类图形面积代入求解；同时还考查了分类讨论的思想；把二次函数与几何结合在一起，综合性较强，也增大了难度．