Question

19．已知：点A是直线y=kx上一点，点P是线段OA上的一个动点（P不与O、A）重合，过点P做x轴的垂线，垂足为点B，以PB为边长在PB的右侧作正方形PBCD，则点C落在x轴上，作射线AD交x轴于点E，如图所示．若OA=10，点A到x轴的距离与到y轴的距离之比是$\frac{4}{3}$，设OP=m．
（1）求点A的坐标；
（2）请用含m的代数式表示△APD的面积为S，并求当m为何值时，S有最大（或最小）值，最大（或最小）值是多少？
（3）①请用含m的代数式表示线段OE的长；
②当m为何值时，以点O，D，C为顶点的直角三角形与Rt△CDE相似？

Answer 1

分析 （1）设A（a，b），根据A到x轴的距离与到y轴的距离之比，以及OA的长求出a与b的值，即可确定出A的坐标；
（2）根据PD与OE平行，得到一对同位角相等，进而得到sin∠APD=sin∠AOB，表示出AP与PD，利用三角形面积公式列出S关于m的二次函数解析式，利用二次函数性质判断即可；
（3）①由三角形APD与三角形AOE相似，得比例，表示出OE即可；
②由DC与OC的比值确定，若三角形OCD与三角形DCE相似，得比例求出m的值即可．

解答 解：（1）设A（a，b），
cos∠AOF=$\frac{a}{OA}$=$\frac{3}{5}$，即a=$\frac{3}{5}$×10=6，sin∠AOF=$\frac{b}{OA}$=$\frac{4}{5}$，即b=$\frac{4}{5}$×10=8，
则A（6，8）；
（2）∵sin∠AOB=$\frac{4}{5}$，sin∠APD=sin∠AOB=$\frac{4}{5}$，
∵AP=OA-OP=10-m，$\frac{4}{5}$=$\frac{PB}{OP}$=$\frac{PB}{m}$，即PB=PD=$\frac{4}{5}$m，
∴S_△APD=AP•PDcos∠APD=$\frac{4}{5}$×（10-m）×$\frac{3}{5}$=$\frac{120m-12{m}^{2}}{25}$=-$\frac{12}{25}$m²+$\frac{120}{25}$m，
则S_△APD有最大值，当m=5时，S_max=16；
（3）①∵△APD∽△AOE，
∴$\frac{PD}{OE}$=$\frac{AP}{AO}$，即$\frac{\frac{4}{5}m}{OE}$=$\frac{10-m}{10}$，
整理得：OE=$\frac{8m}{10-m}$，
②∵DC与OC成固定比例$\frac{4}{7}$，
∴若△OCD∽△DCE，则有$\frac{CE}{DC}$=$\frac{DC}{OC}$=$\frac{4}{7}$，即$\frac{\frac{8m}{10-m}-\frac{7}{5}m}{\frac{4}{5}m}$=$\frac{4}{7}$，
解得：m=$\frac{74}{13}$．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：锐角三角函数定义，三角形面积公式，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．