Question

10．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BE=DF；AE⊥BD，CF⊥BD，对角线AC、BD相交于点O，求证：AO=CO．

Answer 1

分析 由已知条件证得直角三角形全等，得出一组对边相等，再由∠AEB=∠CFD=90°，得到这组对边平行，得到四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分得出结果．

解答 证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∵AB=CD，BE=DF，
在Rt△ABE与Rt△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），
∴AE=CF，
又∵∠AEB=∠CFD=90°，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AO=CO（平行四边形的对角线互相平分）．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，得出一组对边平行且相等是解题关键．