Question

18．在平面直角坐标系中，点E₁，E₂，E₃，…，和F₁，F₂，F₃，…分别在直线y=kx+b和x轴上，四边形OE₁F₁G₁，四边形F₁E₂F₂G₂，四边形F₂E₃F₃G₃，…都是正方形，如果E₁（1，1），E₂（4，2），那么线段F_n-1F_n的长是（　　）

• A． 2^n-1
• B． 2ⁿ
• C． 2²ⁿ
• D． 2ⁿ⁺¹

Answer 1

分析 先求出OF₁=2，F₁F₂=4=2²，再求出直线解析式，通过解方程组求出E₃的坐标，得出F₂F₃=2³，…，即可得出规律，得出结果．

解答 解：∵四边形OE₁F₁G₁，四边形F₁E₂F₂G₂是正方形，E₁（1，1），E₂（4，2），
∴OF₁=2，F₁F₂=4=2²，∠E₁OF₁=45°，
把E₁（1，1），E₂（4，2），代入y=kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=1}&{\;}\\{4k+b=2}&{\;}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{2}{3}$，
∴y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{2}{3}$，
∵∠E₁OF₁=45°，
∴直线OE₁的解析式为：y=x，
∵OF₂=6，
∴直线E₃F₂的解析式为：y=x-6，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}\\{y=x-6}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=10}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴E₃（10，4），
∴F₂F₃=2（10-6）=8=2³，…，
∴线段F_n-1F_n的长是：2ⁿ．
故选：B．

点评 本题考查了正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数解析式的求法；通过求出一次函数解析式得出点的坐标，得出规律是解决问题的关键．