Question

7．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0，4），现有两动点P，Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动．点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t（秒），当t=2（秒）时，PQ=2$\sqrt{5}$．
（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围．
（2）连接AQ并延长交x轴于点E，把AE沿AD翻折交CD延长线于点F，连接EF，则△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理求出PC的长度，然后利用矩形的性质确定D点的坐标；自变量的取值范围由动点到达终点的时间来确定；
（2）本问关键是利用相似三角形与翻折变换的性质，求出S的表达式．注意求图形面积的方法S=S_梯形AOCF+S_△FCE-S_△AOE．经化简计算后，S=32为定值，所以S不变．

解答 解：（1）由题意可知，当t=2（秒）时，OP=4，CQ=2，
在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC=$\sqrt{{PQ}^{2}{-CQ}^{2}}$$\sqrt{{（2\sqrt{5}）}^{2}{-2}^{2}}$=4，
∴OC=OP+PC=4+4=8，
又∵矩形AOCD中，A（0，4），
∴D（8，4）．
点P到达终点所需时间为$\frac{8}{2}$=4秒，点Q到达终点所需时间为$\frac{4}{1}$=4秒，由题意可知，t的取值范围为：0＜t＜4．

（2）结论：△AEF的面积S不变化．
∵AOCD是矩形，
∴AD∥OE，
∴△AQD∽△EQC，
∴$\frac{CE}{AD}$=$\frac{CQ}{DQ}$，∴$\frac{CE}{8}$=$\frac{t}{4-t}$，
∴CE=$\frac{8t}{4-t}$，
由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4-t，则CF=CD+DF=8-t．
S=S_梯形AOCF+S_△FCE-S_△AOE
=$\frac{1}{2}$（OA+CF）•OC+$\frac{1}{2}$CF•CE-$\frac{1}{2}$OA•OE
=$\frac{1}{2}$[4+（8-t）]×8+$\frac{1}{2}$（8-t）•$\frac{8t}{4-t}$-$\frac{1}{2}$×4×（8+$\frac{8t}{4-t}$）
化简得：S=32为定值．
∴△AEF的面积S不变化，S=32．

点评 本题考查了坐标平面内平面图形的性质，所涉及的考点包括相似三角形、勾股定理、矩形、翻折变换、动点变化、解方程和分式运算等，翻折变换的性质是解题的关键．