Question

12．如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，CE=$\frac{1}{4}$BC，F为CD的中点，连接AF、AE、EF，
（1）判定△AEF的形状，并说明理由；
（2）设AE的中点为O，判定∠BOF和∠BAF的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）正方形的边长相等，因为设AB=4a，所以其他三边也为4a，正方形的四个角都是直角，所以能求出AE，AF，EF的长，从而可判断出三角形的形状；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质解答即可．

解答 解：设AB=4a，
∵AB=4a，CE=$\frac{1}{4}$BC，
∴EC=a，BE=3a，
∵F为CD的中点，
∴DF=FC=2a，
∴EF=$\sqrt{（2{a）}^{2}+（a）^{2}}=\sqrt{5}a$，
AF=$\sqrt{（4a）^{2}+（2a）^{2}}=\sqrt{20}a$，
AE=$\sqrt{（4a）^{2}+（3a）^{2}}=5a$．
∴AE²=EF²+AF²．
∴△AEF是直角三角形；
（2）∠BOF=2∠BAF，理由如下：
∵AE的中点为O，
∵△ABE是直角三角形，△AFE是直角三角形，
∴AO=OB=OE，OE=OA=OF，
∴∠BAO=∠OAB，∠OAF=∠OFA，
∴∠BOF=∠BAO+∠OAB+∠OAF+∠OFA=2∠BAF．

点评 本题考查了正方形的性质，四个边相等，四个角相等，勾股定理以及勾股定理的逆定理．