Question

2．如图，在四边形ABCD中，点O是AC的中点，
（1）若AB∥CD，求证：△OAB≌△OCD；
（2）在问题（1）中，若AC=BD，则四边形ABCD是矩形．

Answer 1

分析 （1）由ASA证得这两个三角形全等；
（2）利用（1）中全等三角形的性质判定AB=CD，则四边形ABCD是平行四边形，则根据”对角线相等的平行四边形为矩形“推知四边形ABCD是矩形．

解答 （1）证明：如图，∵在四边形ABCD中，点O是AC的中点，
∴OA=OC．
又∵AB∥CD，
∴∠OAB=∠OCD，
在△OAB与△OCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAB=∠OCD}\\{OA=OC}\\{∠AOB=∠COD}\end{array}\right.$，
∴△OAB≌△OCD（ASA）；

（2）由（1）知，△OAB≌△OCD，则AB=CD．
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
故答案是：矩形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、公共角以及对顶角，必要时添加适当辅助线构造三角形．