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【题目】如图所示,在中,∠C90°A30°

1)尺规作图:作线段AB的垂直平分线l(保留作图痕迹,不写作法);

2)在已作的图形中,若l分别交ABACBC的延长线于点DEF,连接BE求证:EF2DE

【答案】(1)作图见解析;(2)证明见解析.

【解析】试题分析

(1)分别以点A,B为圆心,以大于AB的一半为半径画圆,两圆交于两点,过这两点画直线,这条直线即是线段AB的垂直平分线;

(2)先证明ED=EC,再证∠F=30°,用含30°角的直角三角形的性质即可证明.

试题解析

解:(1)如下图所示,直线l即为所求.

(2)证明:在Rt△ABC中,∵∠A=30°,∠ABC=60°,l为线段AB的垂直平分线,∴EA=EB,∴∠EBA=∠A=30°,∠AED=∠BED=60°,

∴∠EBC=30°=∠EBA,∠FEC=60°.

又∵ED⊥AB,EC⊥BC,∴ED=EC.

在Rt△ECF中,∠FEC=60°,∴∠EFC=30°,∴EF=2EC,∴EF=2ED.

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问题拓展:若AC不经过圆心O(如图乙),该结论:弦切角∠CAB=∠P还成立吗?

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