Question

4．已知△ABC中，点E为边AB的中点，将△ABC沿CE所在的直线折叠得△A′EC，BF∥AC，交直线A′C于F．
（1）如图①，若∠ACB=90°，∠A=30°，BC=$\sqrt{3}$，求A′F的长；
（2）如图②，若∠ACB为任意角，已知A′F=a，求BF的长（用a表示）；
（3）如图③，若∠ACB为任意角，猜想出AC、CF、BF之间的数量关系：AC=CF-BF，并说明理由；
（4）如图④，若∠ACB=120°，BF=8，BC=6，则AC的长为8+2$\sqrt{13}$．．

Answer 1

分析 （1）根据翻折得出AC=A'C，利用含30°的直角三角形的性质进行解答即可；
（2）连接A′B，根据翻折的性质可得A′E=AE，A′C=AC，∠A=∠CA′E，根据中点定义可得AE=BE，从而得到BE=A′E，然后根据等边对等角可得∠EA′B=∠EBA′，根据两直线平行，内错角相等可得∠A=∠ABF，然后求出∠FA′B=∠FBA′，根据等角对等边可得A′F=BF；
（3）图（3）连接A′B，根据翻折的性质可得A′E=AE，A′C=AC，∠A=∠CA′E，根据中点定义可得AE=BE，从而得到BE=A′E，然后根据等边对等角可得∠EA′B=∠EBA′，根据两直线平行，内错角相等可得∠A=∠ABF，然后求出∠FA′B=∠FBA′，根据等角对等边可得A′F=BF，再根据A′C=CF-A′F整理即可得证；
（4）连接A′B，过点F作FG⊥BC于G，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CBF=60°，然后解直角三角形求出BG、FG，再求出CG，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据AC=CF+BF代入数据计算即可得解．

解答 解：（1）将△ABC沿CE所在的直线折叠得△A′EC，
∴AC=A'C，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=$\sqrt{3}$，
∴AC=A'C=3，
∵BC=$\sqrt{3}$，
∴CF=2，
∴A′F=3-2=1；
（2）如图（2），连接A′B，

由翻折的性质得，A′E=AE，A′C=AC，∠A=∠CA′E，
∵点E为边AB的中点，
∴AE=BE，
∴BE=A′E，
∴∠EA′B=∠EBA′，
∵BF∥AC，
∴∠A+∠ABF=180°，
∵∠CA′E+∠EA′F=180°，
∴∠ABF=∠EA′F，
∵∠FA′B=∠EA′F-∠EA′B，
∠FBA′=∠ABF-∠EBA′，
即∠FA′B=∠FBA′，
∴A′F=BF=a；
（3）如图（3），连接A′B，

由翻折的性质得，A′E=AE，A′C=AC，∠A=∠CA′E，
∵点E为边AB的中点，
∴AE=BE，
∴BE=A′E，
∴∠EA′B=∠EBA′，
∵BF∥AC，
∴∠A+∠ABF=180°，
∵∠CA′E+∠EA′F=180°，
∴∠ABF=∠EA′F，
∵∠FA′B=∠EA′F-∠EA′B，
∠FBA′=∠ABF-∠EBA′，
即∠FA′B=∠FBA′，
∴A′F=BF，
∵A′C=CF-A′F，
∴AC=CF-BF；
故答案为：AC=CF-BF；
（4）解：如图（4），连接A′B，过点F作FG⊥BC于G，

∵BF∥AC，∠ACB=120°，
∴∠CBF=180°-120°=60°，
∴BG=BF•cos60°=8×$\frac{1}{2}$=4，FG=BF•sin60°=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
∴CG=BC-BG=6-4=2，
在Rt△CGF中，CF=$\sqrt{F{G}^{2}+C{G}^{2}}=\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{13}$，
∴AC=BF+CF=8+2$\sqrt{13}$．
故答案为：8+2$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了翻折变换，平行线的性质，等边对等角的性质，解直角三角形，勾股定理的应用，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．