Question

13．如图所示，D为△ABC的边AB上的点，过D点作DE∥BC、DF∥AC，AF交DE于点G，BE交DF于点H，求证：GH∥AB．

Answer 1

分析 由题意可知四边形CEDF为平行四边形，从而可得到DE=CF，DF=EC，然后再证明△EDH∽△BFH，△AEG∽△FDG，利用相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理可得到$\frac{DH}{HF}=\frac{AG}{GF}$，从而可证明$\frac{DF}{HF}=\frac{AF}{GF}$，故此△FGH∽△FAD，因而∠FGH=∠FAD，从而可证明：GH∥AD．

解答 解：∵ED∥CB，DF∥AC，
∴四边形CEDF为平行四边形．
∴DE=CF，DF=EC．
∵ED∥CB，
∴△EDH∽△BFH．
∴$\frac{DH}{HF}=\frac{DE}{FB}$．
∵DE=CF，
∴$\frac{DH}{HF}=\frac{CF}{FB}$．
又∵DF∥AC，
∴$\frac{CF}{FB}=\frac{AD}{DB}$．
∴$\frac{DH}{HF}=\frac{AD}{DB}$．
∵DF∥AE，
∴△AEG∽△FDG．
∴$\frac{AG}{GF}=\frac{AE}{DF}$．
∵DF=CE，
∴$\frac{AG}{GF}=\frac{AE}{CE}$．
又∵DE∥BC，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{AD}{DB}$．
∴$\frac{AG}{GF}=\frac{AD}{DB}$．
∴$\frac{DH}{HF}=\frac{AG}{GF}$．
∴$\frac{DH}{HF}+1=\frac{AG}{GF}+1$，即$\frac{DF}{HF}=\frac{AF}{GF}$．
又∵∠GFH=∠AFD，
∴△FGH∽△FAD．
∴∠FGH=∠FAD．
∴GH∥AD．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理的应用，利用相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理证得$\frac{DH}{HF}=\frac{AG}{GF}$是解题的关键．